(7) Bir Doğru Parçasını İçten ve Dıştan Bölen Noktalar

k Є R+ için,

analitik düzlemde

A(x₁, x₂), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)

ve C Є [AB] ise

C noktası [AB] doğru parçasını

|AC| / |BC| = k

oranında içten böler denir ve C noktasının koordinatları

(x₃, y₃) = ((x₁ + kx₂)/(1 + k), (y₁ + ky₂)/(1 + k))

olur.

İspat:



Thales Teoreminin bir gereği olarak

|AC| / |BC| = k <=> (x₃ -x₁) / (x₂ - x₃) = k

<=> (y₃ - y₁) / (y₂ - y₃) = k (1)

=> x₃ - x₁ = kx₂ - kx₃ (içler ve dışlar çarpımı birbirine eşittir)

=> x₃ + kx₃ = x₁ + kx₂

=> x₃ (1 + k) = x₁ + kx₂

Denklem (1)’den

y₃ - y₁ = ky₂ - ky₃ (içler ve dışlar çarpımı birbirine eşittir)

=> y₃ + ky₃ = y₁ + ky₂

=> y₃ (1 + k) = y₁ + ky₂

k Є R+ için,

analitik düzlemde

A(x₁, x₂), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)

ve C Є AB ve C ∉ [AB] ise

C noktası [AB] doğru parçasını

|AC| / |BC| = k

oranında dıştan böler denir ve C noktasının koordinatları

(x₃, y₃) = ((x₁ + kx₂)/(1 - k), (y₁ + ky₂)/(1 - k))

olur.

İspat:

Thales Teoreminin bir gereği olarak

|AC| / |BC| = k <=> (x₃ - x₁) / (x₃ - x₂) = k

<=> (y₃ - y₁) / (y₃ - y₂) = k (2)

=> x₃ - x₁ = kx₃ - kx₂ (içler ve dışlar çarpımı birbirine eşittir)

=> x₃ - kx₃ = x₁ - kx₂

=> x₃ (1 - k) = x₁ - kx₂

Denklem (2)’den

y₃ - y₁ = ky₃ - ky₂ (içler ve dışlar çarpımı birbirine eşittir)

=> y₃ - ky₃ = y₁ - ky₂

=> y₃ (1 - k) = y₁ - ky₂