(17) N Kenarlı Konveks Bir Çokgenin Köşegen Sayısı

$$

n
>
3

için,
$$

n

kenarlı konveks bir çokgenin köşegen sayısı $$



n

(
n
-
3
)


2


'dir.

İspat 1:

Doğrusal olmayan $$

n

noktadan geçen doğru sayısı  $$

C

(
n
,
2
)


’dir. Bu$$

C

(
n
,
2
)


doğrunun $$

n

tanesi “kenar”dır. O halde köşegen sayısı$$

C

(
n
,
2
)

-
n

olacaktır.(1.1)

$$

C

(
n
,
2
)

-
n
=

(
n

!


(
n
-
2
)

!

(
2
!
)



)

-
n



$$

=

(


n

(
n
-
1
)


(
n
-
2
)

!


2

(
n
-
2
)

!


)

-
n



$$

=



n
2

-
n
-
2
n

2




$$

=



n
2

-
3
n

2


elde edilir.

İspat 2:

$$

n
=
4

için,$$



4

(
4
-
3
)


2

=
2

doğrudur.(2.1)

$$

n
=
k

için, köşegen sayısı $$

A
=


k

(
k
-
3
)


2


olsun.(2.2)

$$

n
=
k
+
1

için, köşegen sayısının $$




(
k
+
1
)


(
k
-
2
)


2


olduğunu gösterelim.

$$

A
+
k
-
1
=

(


k

(
k
-
3
)


2

)

+
k
-
1

(2.2 nolu denklemin her iki tarafına $$

k
-
1

ekledik)

$$

⇒
A
+
k
-
1
=

(


k

(
k
-
3
)

+
2
k
-
2

2

)


$$

=



k
2

-
k
-
2

2




$$

n
>
3

için, n kenarlı konveks bir çokgenin köşegen sayısının$$



n

(
n
-
3
)


2


olduğu tümevarımla ispatlanmıştır.