(21) Öklid'in 18 ve 24. Önermelerinin Kanıtı

Öklid'in 18. Önermesi

Herhangi bir üçgende daha büyük kenar daha büyük açıya karşılık gelir.



Kanıt



Bir $$

A
B
C

üçgeni verilsin.

$$



×


∣
A
C
∣
>
∣
A
B
∣


olsun






Şimdi $$

∣
A
C
∣
>
∣
A
B
∣ ise $$

∠
A
B
C
>
∠
A
C
B

önermesini kanıtlayalım. $$

∣
A
C
∣
>
∣
A
B
∣


olsun

olduğu için $$

∣
A
D
∣
=
∣
A
B
∣

olacak biçimde bir $$

A
B

sınırlı doğrusu inşa edilebilir (3. önerme). $$

B

ve $$

D

noktalarını birleştirip $$

B
D

doğrusunu çizelim (1. postulat). $$

A
B
D

üçgeninde, $$

∣
A
D
∣
=
∣
A
B
∣

olduğundan dolayı, bu kenarların gördüğü açılar da eşit olur (5. önerme).



$$



×


∠
A
B
D
=
∠
A
D
B


×
×
×
×
×
×
x



(
1
)






$$

B
D
C

üçgeninin $$

D
C

kenarı $$

D

noktası yönünde uzatıldığında oluşan açı, $$

∠
B
C
D

'den büyük olur (16. önerme):



$$



×


∠
A
D
B
>
∠
A
C
B


×
×
×
×
×
×
x



(
2
)






$$

∠
A
B
D

, $$

∠
A
B
C

'nin bir parçasıdır ve ondan büyüktür (5. ortak kavram).



$$



×


∠
A
B
C
>
∠
A
B
D


×
×
×
×
×
×
x



(
3
)






olduğu için (1)'den dolayı,



$$



×


∠
A
B
C
>
∠
A
D
B


×
×
×
×
×
×
x



(
4
)






O halde şimdi (2)'den dolayı,



$$



×


∠
A
B
C
>
∠
A
D
B
>
∠
A
C
B





olacaktır. Böylece,



$$



×


∣
A
C
∣
>
∣
A
B
∣


ise


∠
A
B
C
>
∠
A
C
B





önermesi kanıtlanmış olur. O halde herhangi bir üçgende daha büyük kenar, daha büyük açıya karşılık gelir.



Öklid'in 24. Önermesi

Eğer iki üçgende ikişer kenar eşitse ama bu kenarların arasındaki açı bir üçgende daha büyükse bu üçgenin tabanı diğer üçgenin tabanından daha büyüktür.



Kanıt

Bir $$

A
B
C

üçgeni ve bir $$

D
E
F

üçgeni verilsin. $$

∣
A
B
∣
=
∣
D
E
∣

ve $$

∣
A
C
∣
=
∣
D
F
∣

ama $$

∠
B
A
C
>
∠
D
E
F

olsun.

Şimdi $$

∠
B
A
C
>
∠
E
D
F

ise $$

∣
B
C
∣
>
∣
E
F
∣

önermesini kanıtlayalım. $$

∠
B
A
C

açısını $$

D

noktasına taşıyalım (23. önerme). Uç nokta $$

G

olsun. $$

∣
A
C
∣
=
∣
D
F
∣

ve $$

∣
A
C
∣
=
∣
D
G
∣

olduğu için üç uzunluk da birbirine eşittir (1. ortak kavram):



$$



×


∣
D
F
∣
=
∣
D
G
∣


×
×
×
×
×
×
x



(
5
)






$$

G
E

ve $$

G
F

doğrularını çizelim (1. postulat). $$

∣
A
B
∣
=
∣
D
E
∣

, $$

∣
A
C
∣
=
∣
D
G
∣

ve $$

∠
B
A
C
>
∠
E
D
G

olduğu için $$

A
B
C

üçgeni, $$

D
E
G

üçgenine eşittir (4. önerme):



$$



×


∣
B
C
∣
=
∣
E
G
∣


×
×
×
×
×
×
x



(
6
)






(5)'ten dolayı, $$

E
D
G

üçgeninde taban açıları eşittir (5. önerme):



$$



×


∠
D
F
G
=
∠
D
G
F


×
×
×
×
×
×



(
7
)






$$

∠
D
F
G

, $$

∠
E
F
G

'nin bir parçası olup, $$

∠
E
F
G
>
∠
D
F
G

'dir (5. ortak kavram). $$

∠
E
G
F

, $$

∠
D
G
F

'nin bir parçası olduğundan $$

∠
D
G
F
>
∠
E
G
F

'dir (5. ortak kavram). O halde (7)'ten dolayı,



$$



×


∠
E
F
G
>
∠
D
F
G
>
∠
E
G
F


ya da kısaca


∠
E
F
G
>
∠
E
G
F





Buradan $$

E
F
G

üçgeninde, $$

∠
E
F
G

'nin gördüğü kenar, $$

∠
E
G
F

'nin gördüğü kenardan daha büyüktür (19. önerme):



$$



×


∣
E
G
∣
>
∣
E
F
∣





Şimdi (6)'dan dolayı,



$$



×


∣
B
C
∣
>
∣
E
F
∣





O halde $$

∠
B
A
C
>
∠
E
D
F

ise $$

∣
B
C
∣
>
∣
E
F
∣

önermesi kanıtlanmıştır.



Kullanılan postulat, ortak kavram ve önermeler:

1. postulat: Bir noktadan her hangi bir noktaya doğru çizilebilir.

1. ortak kavram: Eşitler eşittir.

5. ortak kavram: Bütün, parçadan büyüktür.

3. önerme: Eşit olmayan iki doğru verilirse, daha büyük olandan daha küçük olana eşit bir sınırlı doğru ayrılabilir.

4. önerme: Kenar-açı-kenar eşitliği.

5. önerme: İkizkenar üçgende tabandaki açılar birbirine eşittir.

16. önerme:  Herhangi bir üçgenin kenarları uzatıldığında dış açı, iç ve karşıt açıdan büyüktür.

19. önerme:  Herhangi bir üçgende daha büyük açı daha büyük kenara karşılık gelir.

23. önerme: Verilmiş bir doğrunun verilmiş bir noktasında verilmiş bir açıya eşit açı çizmek.



Yardımlarından dolayı Yrd. Doç. Dr. Gülay İlona Telsiz Kayaoğlu'na teşekkür ederim.