Toplama Problemlerinin Çözümleri

1. $$

a
,
b
∈
ℕ
⇒
a
+
b
∈
ℕ

(kapalılık)




Çözüm




Toplama tanımından,


$$

s

(
A
∪
B
)

∈
ℕ





$$

⇒
a
+
b
∈
ℕ







2. $$

a
,
b
,
∈
ℕ
⇒
a
+
b
=
b
+
a

(değişme)



Çözüm

$$

A
∪
B
=
B
∪
A

eşitliğinden,



$$

s

(
A
∪
B
)

=
s

(
B
∪
A
)






$$

⇒
a
+
b
=
b
+
a







3. $$

a
,
b
,
c
∈
ℕ
⇒
a
+

(
b
+
c
)

=

(
a
+
b
)

+
c

(birleşme)



Çözüm

$$

A
∪

(
B
∪
C
)

=

(
A
∪
B
)

∪
C

eşitliğinden,



$$

s

(
A
∪

(
B
∪
C
)

)

=
s

(

(
A
∪
B
)

∪
C
)





$$

⇒
a
+

(
b
+
c
)

=

(
a
+
b
)

+
c







4. Eğer bir eşitliğin iki yanına aynı sayı eklenirse, o zaman eşitlik bozulmaz.



Çözüm


$$

a
,
b
,
c
∈
ℕ

olmak üzere,



$$

a
=
b
⇒
a
+
c
=
b
+
c



önermesini kanıtlamak istiyoruz.



$$

A
=
B
⇒
A
∪
C
=
B
∪
C



gerektirmesinden dolayı,



$$

s

(
A
)

=
s

(
B
)

⇒
s

(
A
∪
C
)

=
s

(
B
∪
C
)






Sonuç olarak,

$$

a
=
b
⇒
a
+
c
=
b
+
c









5. Sıfır sayısı, toplama işlemine göre birim elemandır.



Çözüm

$$

a
∈
ℕ
⇒
a
+
0
=
0
+
a
=
a



olduğunu kanıtlamak isteriz.



$$

A
∪
∅
=
A



eşitliğinden,



$$

a
+
0
=
a







6. $$

ℕ

'de, $$

a
≠
0

sayısının ters elemanı yoktur.



Çözüm


$$

a
,
b
∈
ℕ
,
a
≠
0
⇒
a
+
b
≠
0



olduğunu kanıtlamak isteriz. $$

a
≠
0

ise her $$

B

kümesi için,



$$

A
∪
B
≠
∅





dolayısıyla,

$$

a
+
b
≠
0