(62) Regüler Girdili 2×2 Matrisler Halkasının Von Neumann Regüler Halka Koşulunu Sağlaması Üzerine

(Eğer $$
R
bir bölme halkası ise, o zaman $$

M
2

(
R
)
'nin bir regüler halka olduğunun bir ispatı)





Tanım: $$
R
, bir halka olsun. Eğer $$
R
halkasının her elemanı düzenli ise, $$
R
halkasına düzenli halka veya regüler halka denir.



Önerme: Eğer $$
R
bir bölme halkası ise, o zaman $$

M
2

(
R
)
bir regüler halkadır.



İspat: $$$$
A
=

(



a


b




c


d



)

∈

M
2

(
R
)
olsun.



BİRİNCİ DURUM



$$$$
a
=
b
=
c
=
d
=

0
R

olsun. O zaman,
$$$$



A

⊙

R


A

⊙

R


A



=

A
3







=
A



olduğundan, $$
X
=
A
∈

M
2

(
R
)
için $$
A
X
A
=
A
koşulu sağlanır.



İKİNCİ DURUM



$$$$
A
≠

(




0
R




0
R






0
R




0
R




)


 ve 

a
d
−
b
c
≠

0
R

olsun. $$
R

bölme halkası olduğundan,
$$$$



A

A

−
1


A



=

(



a


b




c


d



)


1

a
d
−
b
c



(



d


−
b




−
c


a



)


(



a


b




c


d



)







=

(




1
R




0
R






0
R




1
R




)

A






=
I
A






=
A




dir. Dolayısıyla,
$$
X
=

A

−
1



M
2

(
R
)

için,
$$
A
X
A
=
A

koşulu sağlanır.



ÜÇÜNCÜ DURUM



$$$$
A
≠

(




0
R




0
R






0
R




0
R




)


 ve 

a
d
−
b
c
=

0
R


olsun. $$
p
,
q
,
r
,
s
∈
R
−


0
R


olmak üzere,
$$q= \frac{pb}{q} \textrm{ ve } as \neq br $$
olacak biçimde,
$$$$
B
:=

(




1
R



p




c

/

a


q



)

,



C
:=

(



a


b




r


s



)

,



D
:=

(




1
R




0
R






0
R




0
R




)


matrislerini tanımlayalım. Bu durumda,
$$$$



B
D
C



=

(




1
R




0
R





c

/

a



0
R




)


(



a


b




r


s



)







=

(



a


b




c


(
b
c
)

/

a



)





$$
a
d
=
b
c
olduğundan,
$$$$



B
D
C



=

(



a


b




c


d



)







=
A










(*)





dir. Diğer taraftan,
$$$$

(




1
R




0
R






0
R




0
R




)


(




1
R




0
R






0
R




0
R




)

=

(




1
R




0
R






0
R




0
R




)


olduğundan, $$
D

idempotent elemandır. Dolayısıyla, (*)'den,
\begin{align} AC^{-1}B^{-1}A &= BDCC^{-1}B^{-1}BDC \nonumber \\
&= BDDC\nonumber \\
&= BDC \nonumber \\
&= A
\end{align}
olduğundan, $$

C

−
1



B

−
1


=
X
∈

M

2


(
R
)
için,
$$$$
A
X
A
=
A

koşulu sağlanır. Dolayısıyla her $$
A
∈

M

2


(
R
)

bir regüler elemandır. Regüler halka tanımı gereği, $$
(

M

2


(
R
)
,

⊕

R


,

⊙

R


)

sistemi, bir regüler halkadır.




Sonuç: Eğer $$
R

bir bölme halkası ise, "$$

⊕

R


"
matris toplaması ve "$$

⊙

R


"
matris çarpması olmak üzere,
$$
(

M

2


(
R
)
,

⊙

R


,

⊕

R


)

sisteminin bir regüler halka olduğu durum analizi ile ispatlanmıştır.




TEŞEKKÜR



Değerli tavsiyelerinden dolayı Dr. Öğr. Üyesi Sevan Bedikyan'a teşekkür ederim.





İndir