Kümeler Cebiri-Problemler

1. $$

A

ve $$

B

boş olmayan iki küme olmak üzere,

$$



×


s

(
A
×
B
)

=
s

(
A
)

s

(
B
)





olduğunu gösteriniz.



Çözüm

$$


I
1  işlemi, $$

A

'dan bir eleman seçmek olsun. Bunu $$

s

(
A
) yolla yapabiliriz. $$


I
2  işlemi, $$

B

'dan bir eleman seçmek olsun. Bunu $$

s

(
B
) yolla yapabiliriz. $$

A
×
B'nin elemanlarını önce $$

A'dan bir eleman seçip sonra $$

B 'den bir eleman seçerek oluşturduğumuza göre çarpım kuralı gereğince bu işi,

$$



×


s

(
A
)

s

(
B
)




${\displaystyle }$farklı yolla yapabiliriz.





2. $$

A

ve $$

B

kümeleri verilsin. $$

A
∩
B
⊆
A
∪
B

olduğunu kanıtlayınız.



Çözüm

$$

x
∈
A
∩
B olduğunu varsayalım. O zaman,

$$



×


x
∈
A
∩
B



$$

⇒
x
∈
A


ve


x
∈
B




(kesişim tanımı)

$$

⇒
x
∈
A

(mantıksal ve'nin tanımı)

$$

⇒
x
∈
A


veya


x
∈
A

(mantıksal veya'nın tanımı)

$$

⇒
x
∈
A
∪
B

(birleşimin tanımı)





DAĞILMA ÖZELLİĞİ



3. $$

B

, $$

C

ve $$

A

kümeleri verilsin. O zaman,

$$

A
∩

(
B
∪
C
)

⊆

(
A
∩
B
)

∪

(
A
∩
C
)




olduğunu kanıtlayınız.



Çözüm

Aşağıdakiler doğrudur:

$$

A
∩

(
B
∪
C
)

=

{
x

∣

x
∈
A
∩

(
B
∪
C
)

}




$$



×
×
×
×


=

{
x

∣

x
∈
A


ve


x
∈
B
∪
C
}




$$



×
×
×
×


=

{
x

∣

x
∈
A


ve



(
x
∈
B


veya


x
∈
C
)

}




$$



×
×
×


=

{
x

∣


(
x
∈
A


ve


x
∈
B
)



veya



(
x
∈
A


ve


x
∈
C
)

}




$$



×
×
×


=

{
x

∣

x
∈
A
∩
B


veya


x
∈
A
∩
C
}




$$



×
×
×


=

{
x

∣

x
∈

(
A
∩
B
)

∪

(
A
∩
C
)

}




$$



×
×
×


=

{
x

∣

x
∈

(
A
∩
B
)

∪

(
A
∩
C
)

}




$$



×
×
×


=

(
A
∩
B
)

∪

(
A
∩
C
)






4. $$

X

ve $$

Y

kümeleri verilsin. O zaman, $$

X
=
Y

ancak ve ancak $$

X
⊆
Y

ve $$

Y
⊆
X

'dir.



Çözüm

Eğer $$

X
=
Y

ise, o zaman tanımdan $$

X

ve $$

Y

tam olarak aynı elemanlara sahiptirler. O halde $$

x
∈
X

ise, o zaman $$

x
∈
Y

'dir. Ama bir alt küme tanımından bu $$

X
⊆
Y

olduğunu söyler. Benzer şekilde, eğer $$

x
∈
Y

ise, o zaman $$

x
∈
X

, o halde $$

X
⊆
Y

'dir. Şimdi tersi için, $$

X
⊆
Y

ve $$

Y
⊆
X

varsayalım. Eğer $$

X
⊆
Y

ise, o zaman $$

X

'in her elemanı $$

Y

'dedir. Bu, $$

X

ve $$

Y

'nin aynı elemanlara sahip olduğu anlamına gelir, o halde $$

X
=
Y

'dir.



5. Boşküme her kümenin altkümesidir.

Çözüm

Öyle bir $$
A
kümesi olsun ki, boşküme o $$
A
kümesinin altkümesi olmasın. Dolayısıyla $$
x
∈

∅

ve $$
x
∉
A
koşullarını sağlayan bir $$
x
elemanı vardır. Boşküme tanımı gereğince, bu durum boş kümenin hiç elemanı olmaması ile çelişir. Çelişkinin nedeni, boşkümenin altkümesi olmadığı bir $$
A
kümesini varsaymamızdır. Olmayana ergi yöntemiyle "boşküme her kümenin altkümesidir" önermesi kanıtlanmıştır.



6. Bir tane boşküme vardır.

Çözüm

İki tane boşküme olduğunu varsayalım. Bu boşkümelerden birine $$


∅

1

, diğerine $$


∅

2

  diyelim. Boşküme her kümenin altkümesi olduğu için $$


∅

1

⊆


∅

2

ve $$


∅

2

⊆


∅

1

. Dolayısıyla $$


∅

2

=


∅

1

.